Chi tiết: tôi đang học Đại số 1 và 2, để sau đó học giải tích và đại số tuyến tính. Nhưng tôi thắc mắc liệu việc HIỂU được chúng có quan trọng không hay chỉ cần biết thôi? Trước khi bạn định gào lên là CÓ thì cứ thử nghĩ về nó một lúc đi đã nhé.
A: Alon Amit, TS toán
xxxxxxxxxxxxxx
“Trước khi bạn định gào lên là CÓ thì cứ thử nghĩ về nó một lúc đi đã nhé”.
Cảm giác có vẻ như em rất muốn câu trả lời là Không, nhỉ. Tôi hi vọng không phải như vậy, bởi vì tôi sẽ nói Có mà không mất giây nào để nghĩ ngợi đâu. Vẫn được thôi mà, vì tôi đã nghĩ về điều này trong 30 năm rồi đấy. Tôi đã học rất nhiều về toán, cũng dạy không ít các lớp toán nữa này. Từ bản thân, bạn bè, và cả các sinh viên của mình, tôi có nhận xét thế này: chưa có ai không hiểu được level N mà lại có thể thành thạo được level N+1. Không một ai đâu nhé. Với tư cách một giáo viên, tôi luôn tự nhắc mình điều này.
Nói thêm, cái cấu tạo nên một “level” ở đây sẽ khá trừu tượng. Và ý nghĩa thực sự của từ “hiểu” cũng vậy. Vì thế, đừng kỳ vọng có thể áp dụng câu trả lời này hay bác bỏ nó nhớ. Tuy nhiên có rất nhiều ví dụ toán học trong đó nếu muốn nhuần nhuyễn được khái niệm ở mức cao, ta cần thành thục được khái niệm nền tảng của nó, càng đi sâu, điều này càng đúng.
Nhiều học sinh biết cách cộng phân số có chung mẫu số, và các em làm tất cả những việc này trong khi không thực sự hiểu mình đang làm gì. Nhiều em lại có thể thực hiện phép chia số lớn (long division) mà không hiểu tại sao thuật toán rất đặc biệt này lại chạy đúng. Đây là đặc điểm trong những năm đầu: mọi thứ quá căn bản nên việc giải thích các khái niệm đó hóa ra lại không hề đơn giản, và các em hoàn toàn có thể học hết nhiều năm trong trường mà không cần hiểu các thuật toán ấy.
Nhưng khi phải đụng tới phép chia đa thức, và xoay sở với các hàm phân thức, cũng như kiến thức về số phức trong đại số thì, nếu chỉ có thể thực hiện máy móc các phép cộng phân số đơn giản, chắc các em sẽ gặp khó khăn đấy.
Khi học về giải tích và đại số tuyến tính, mọi thứ sẽ còn thay đổi hơn thế nữa. Các em sẽ cần phải chứng minh được mọi thứ, thay vì đơn thuần tìm giá trị x nào đó. Nếu không hiểu được, các em không những không làm được mà còn thấy mệt mỏi và vô nghĩa nữa. Kể cả có xoay sở bằng cách nào đó để tới được cái đích cuối cùng thì cũng chẳng có giá trị gì: các em đã bỏ lỡ những điều quan trọng nhất rồi.
Vài tháng trước, một học sinh đã nhờ tôi giúp. Em cần giải một bài tập vật lý liên quan đến vận tốc viên đạn pháo bắn ra từ đỉnh đồi xuống cánh đồng. Câu hỏi liên quan tới góc bắn, vận tốc ban đầu và điểm tiếp đất. Chẳng vấn đề gì, nhỉ. Nhưng mà cậu học sinh chăm chỉ đó lại không hề biết phải bắt đầu từ đâu, bởi trước đó cậu chưa từng gặp phải dạng bài kiểu này.
Trước đó, cậu chỉ gặp phải bài toán khẩu súng cùng điểm tiếp đất của viên đạn nằm ở cùng độ cao. Một hình parabol đơn giản, lấy trục Ox làm mặt đất. Nhưng bài này không dễ dàng như thế nhỉ. Khẩu súng đặt ở độ cao lớn hơn điểm tiếp đất của đạn.
Các em có thể biết tất tần tật về dạng bài quả đạn pháo được bắn và chạm đất ở cùng cao độ, nhưng nếu không hiểu được công thức và liên hệ của nó với phương trình parabol, liên hệ giữa mô hình và bài toán, các em sẽ chẳng thể giải nổi một biến thể đơn giản này. Và chắc chắn các em phải có khả năng giải được, nếu không thì các em đã chẳng học được gì rồi. Chẳng ai quan tâm đến chuyện em biết vẽ đường bay đạn pháo hay không đâu, đại đa phần học sinh sẽ không làm sĩ quan pháo binh mà. Điểm mấu chốt ở đây là, các em phải năm được khái niệm hình học giải tích, cũng như các áp dụng chúng vào các dạng bài khác nhau. Nền đất cao hơn kia chỉ là một biến thể khá đơn giản thôi, sau này các em có thể xét đến cả trường hợp hai quả đạn va vào nhau, dội ngược về phía mình, vv. Điều đó mới quan trọng nhé.
Càng ngày, khi đã tiến bộ trong quá trình học tập của mình, những giáo viên tốt sẽ bắt em phải giải bài em chưa thấy ai giải được. Đấy mới là toán học thực sự. Không biết bao nhiều lần, tôi nghe được sinh viên nài nỉ hỏi giáo viên coi “bài này có trong đề không”, và nếu có bài nào trong đề thi khác với những gì đã được đưa ra trong lớp học, các em cảm thấy thật buồn bã. Họ thì không buồn đâu nhé. Họ đang được dạy cách thấu hiểu các ý tưởng của toán học và cách sử dụng chúng.
Nếu chỉ giải bất đẳng thức như |x|<10 theo cách máy móc thôi, các em sẽ khóc thét khi gặp dạng bài kiểu ||x|−|x^2−5|| < 10. Nếu biết cách tính hệ số tổ hợp nhưng không hiểu tại sao đẳng thức
C(N,K) = N! / (K! (N-K)!)
lại đúng, các em sẽ không biết cách giải những bài toán phức tạp hơn là số cách chọn 3 người trong một nhóm 10 người. Nếu chỉ biết đường tròn có bán kính R, tâm (x0, y0) là (x−x0)^2 + (y−y0)^2 = R^2, nhưng không hiểu bản chất, có lẽ các em sẽ chỉ có thể giải mấy bài kiểu đường tròn hay đường thẳng. Song sẽ chẳng giải được bài nào phức tạp hơn. Cứ nhìn những câu hỏi về đường tròn trên Quora dạng này hoặc này coi. Ấy là những học sinh đã không viết ra công thức, hoặc là những em không hiểu bản chất (có thể do lỗi của họ hoặc không).
Em nói em muốn học giải tích và đại số tuyến tính. Vậy hãy nghe lời tôi nhé, bỏ ngay thái độ mà em đã dùng để đặt ra câu hỏi này đi nếu em thực sự muốn hiểu coi “tại sao thứ gì đó lại đúng”. Thực sự chẳng có lý do gì để học cả nếu ngay từ đầu em không hề tò mò xem tại sao nó lại đúng. Có nhiều thứ đẹp đẽ hơn em có thể theo đuổi hay nghiên cứu, nhưng nếu muốn học toán, hãy cố gắng hết sức để hiểu nhé.
Theo: Vũ Cường
