Đầu tiên, mình sẽ giải thích phương trình tuyến tính là gì đã. Phương trình tuyến tính là phương trình nhiều biến bậc nhất và không truyền tới phương trình khác [T/N: VD như sin x chẳng hạn]. Dưới đây là một số phương trình tuyến tính:
x + y – z = 0
a + b + c + d + e = 17
Những phương trình dưới đây không phải là phương trình tuyến tính:
x²* + y = 3 (x bình phương)*
sin(x) + log(y) = 13 (x và y truyền vào hàm số khác)
Ban đầu, đại số tuyến tính là cách để lấy nhiều phương trình tuyến tính và giải chúng. Ví dụ thế này:
x + y = 5
x – y = 3
Thứ mọi người học là một cách viết khác:
M * w = v
với M được gọi là ma trận và w là một vector có x và y và v là vector chứa 5 và 3.
Mình không muốn đâm sâu vào việc giải những phương trình này như thế nào, nhưng những kĩ thuật cơ bản được dùng để giải tất cả các bài toán, có thể kể dến như đồ họa máy tính, bài toán tối ưu, vân vân. Điều tuyệt vời ở đây là chúng có thể tách nhỏ thành những bài toán đại số tuyến tính cơ bản, nếu như mọi người thử tự định nghĩa lại ma trận và vector là gì và phép nhân giữa chúng là như thế nào. Khi làm như vậy, ta thấy rằng Giải tích Fourier (được dùng để cân bằng âm thanh hay nén ảnh jpeg) là đại số tuyến tính và orbital nguyên tử là hàm cầu – là các vector riêng của một phương trình tuyến tính (đặc biệt là phương trình Laplace dược viết trong hệ tọa đồ cầu).
____________________
T/N: Hình là các mặt bậc hai cơ bản, sinh ra từ dạng toàn phương – là một song tuyến tính đối xứng trên một không gian vector, ánh xạ đến tập số thực R. Những phương trình trong hình là các phương trình dạng chính tắc của dạng toàn phương (thế nên nó mới có tên gọi là toàn phương – “toàn là bình phương”).
